精确算术¶

给定直线 \(L: P = P_0 + t \cdot \vec{d}\)，其中： - \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) 是直线上一点 - \(\vec{d} = (d_x, d_y, d_z)\) 是方向向量 - \(t \in \mathbb{R}\) 是参数

判断直线 \(L\) 与单位立方体 \([0,1]^3 = \{(x,y,z) \mid 0 \leq x,y,z \leq 1\}\) 的关系。

几何关系分类：¶

• 相交：\(L\)穿过立方体内部
• 相切：\(L\)与立方体表面接触但不穿过内部
• 相离：\(L\)与立方体无交点
• 包含：\(L\)段完全在立方体内部（特殊情况）

问题关键在于找到\(L\)与单位立方体的六个面的所有有效交点参数\(t\)

核心步骤¶

\(P_0 = \left(\frac{a_x}{b_x}, \frac{a_y}{b_y}, \frac{a_z}{b_z}\right), \quad \vec{d} = \left(\frac{c_x}{d_x}, \frac{c_y}{d_y}, \frac{c_z}{d_z}\right)\)